Πώς τον Απρίλιο του 1940 ένας Έλληνας μαθηματικός πίστεψε ότι είχε καταφέρει να τετραγωνίσει τον κύκλο!

Ένα από τα πιο γνωστά, άλυτα, μαθηματικά προβλήματα είναι κι αυτό με τον τετραγωνισμό του κύκλου. Πώς δηλαδή με τη χρήση κανόνα (= χάρακα) και διαβήτη θα δημιουργήσουμε ένα τετράγωνο με εμβαδόν ίσο με το εμβαδόν ενός συγκεκριμένου κύκλου. Καθώς για τον προσδιορισμό του εμβαδού ενός κύκλου ισχύει ο τύπος π · r², όπου π ο σταθερός, υπερβατικός αριθμός με άπειρα δεκαδικά ψηφία και r η ακτίνα του κύκλου, είναι ευνόητο ότι δεν μπορεί να δημιουργηθεί ένα τετράγωνο με το ίδιο ακριβώς εμβαδόν, λόγω του π. Έτσι, το πρόβλημα παραμένει μέχρι σήμερα και θα παραμείνει στο διηνεκές άλυτο. Ωστόσο, τον Απρίλιο του 1940, ένας Έλληνας μαθηματικός υποστήριξε ότι είχε καταφέρει το ακατόρθωτο, ότι δηλαδή ανέπτυξε ένα θεώρημα που επιβεβαίωνε τον τετραγωνισμό του κύκλου. Πώς το κατάφερε; "Ανακαλύπτοντας" ότι το π δεν είναι ένας αριθμός με άπειρα δεκαδικά ψηφία, αλλά συγκεκριμένος.  

Ο φιλόδοξος μαθηματικός ονομαζόταν Αναστάσιος Ζυγαλάκης, ο οποίος είχε καταθέσει τα πορίσματά του στην Ακαδημία, το Πολυτεχνείο και σ' άλλες πανεπιστημιακής σχολές επιζητώντας την επιβεβαίωση. Προτού αυτή έρθει, σίγουρος για την επιτυχία του, ο Ζυγαλάκης δημοσιοποίησε το θεώρημά του μέσω της εφημερίδας Ελληνικόν Μέλλον (16.04.1940).

Το θεώρημα του Έλληνα μαθηματικού για τον τετραγωνισμό του κύκλου είχε ως εξής: "Η επιφάνεια παντός τετραγώνου ισούται με επιφάνεια κύκλου έχοντος ακτίνα την υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου, του οποίοy οι δύο κάθετες πλευρές ισούνται η μεν με το 1/4 της πλευράς του τετραγώνου, η δε με το 1/2 της πλευράς του τετραγώνου".

Και αυτή ήταν η "απόδειξη" του θεωρήματος (σε συνδυασμό με τις εικόνες που δημοσιεύονται):

Έστω ότι το τετράγωνο ΑΒΓΔ και ο κύκλος Κ έχουν ίση επιφάνεια, η οποία παρίσταται με το Ε - δηλαδή ΑΒΓΔ=Ε και Κ=Ε. Διαιρούμε την πλευρά ΑΒ σε τέσσερα ίσα μέρη και από τα σημεία της διαιρέσεως φέρουμε παράλληλους προς την ΑΔ. Διαιρούμε και την ΑΔ σε τέσσερα ίσα μέρη και από τα σημεία της διαιρέσεως φέρουμε παραλλήλους προς την ΑΒ. Έτσι, το τετράγωνο ΑΒΓΔ διαιρείται σε 16 ίσα τετραγωνάκια, το καθένα από τα οποία έχει πλευρά το 1/4 √Ε, επειδή η πλευρά του τετραγώνου είναι ίση με √Ε. 

Ενώνουμε τα σημεία β και γ διά της ευθείας βγ, την οποία παριστάνουμε ως α και σχηματίζεται το ορθογώνιο τρίγωνο Αβγ, που έχει την πλευρά Αβ=1/4 √Ε και την Αγ=1/2 √Ε.

Κατά το Πυθαγόρειο θεώρημα θα έχουμε: 

(1/4√Ε)² + (1/2 √Ε)² = α² ή

1/16 Ε + 1/4 Ε = α² ή 5/16 Ε = α²

Αφού τα 5/16 της επιφάνειας Ε, ήτοι του τετραγώνου και του κύκλου, ισούται με α², το 1/16 της επιφανείας Ε ισούται με α²/5.

Και τα 16/1/6, ήτοι η επιφάνεια του τετραγώνου και κύκλου, θα ισούται με α² · 16/5 = α² · 3,20.

Επομένως ο τύπος α² · 3,20 παριστά το εμβαδόν του τετραγώνου ΑΒΓΔ (επιφάνεια Ε) και το εμβαδόν του κύκλου Κ (επιφάνεια Ε). Ώστε, σύμφωνα με τον Ζυγαλάκη, ο π ισούται με 3,20 και δεν ισχύει το π=3.1415....

Έτσι, το πόρισμα του καθηγητή ήταν: "Παντός κύκλου το τετράγωνον της ακτίνος ισούται με τα 5/16 της επιφανείας αυτού".

Το θέμα απασχόλησε για αρκετές ημέρες την εφημερίδα Ελληνικόν Μέλλον και τους αναγνώστες της, οι οποίοι συμμετείχαν σ' έναν ιδιότυπο δημόσιο διάλογο με τον Ζυγαλάκη, ο οποίος δεν είχε πείσει τους συναδέλφους του - ή άλλους φίλους των μαθηματικών - σ΄ ένα πολύ κρίσιμο σημείο: πώς αποδεικνύεται ότι η ακτίνα α του κύκλου ισούται με την πλευρά βγ. Εξάλλου, ένας από τους αναγνώστες της εφημερίδας σημείωνε: "Εάν θέλωμεν τον π=5, αρκεί να διαιρέσωμε κάθε πλευράν του ΑΒΓΔ εις 5 ίσα μέρη. Δηλαδή η τιμή του π κανονίζεται κατά βούλησιν!!... Μα είνε μαθηματικός ο τρόπος αυτός του σκέπτεσθαι;"

Ποια ήταν η απάντηση του Ζυγαλάκη; Στο φύλο της 23.04.1940, στην ίδια εφημερίδα ο καθηγητής δημοσίευε την "απόδειξη" ότι βγ=α:

Λαμβάνουμε τον κύκλο Κ και τον τοποθετούμε επί του τετραγώνου ΑΒΓΔ, ούτως ώστε να εφαρμόσουν τα κέντρα, όπως δείχνει το σχήμα. Ενώνουμε τα σημεία Κ και μ διά της ευθείας Κμ. Τα ορθογώνια τρίγωνα Αβγ και Κκμ είναι ίσα ως έχοντα την Αβ=κμ, διότι έκαστη είναι το ένα τέταρτο της πλευράς της ΑΒ. Την Αγ=Κκ, διότι έκαστη είναι ίση με το ήμισυ της πλευράς ΑΔ και την γωνία βΑγ - γων. Κκμ ως ορθές. Από την ισότητα των τριγώνων έπεται ότι η βγ=κμ, επομένως Κμ είναι η ακτίνα του κύκλου, εάν βγ=α και κμ=α. 

Και ενώ ο Ζυγαλάκης υποσχόταν ένα... δεύτερο θεώρημα, που θ' αποδείκνυε τον τετραγωνισμό του κύκλου, στις 26.04 η εφημερίδα Ελληνικόν Μέλλον δημοσίευσε την επιστολή του διδάκτορα των μαθηματικών, Δούκα Π. Παυλίδη, ο οποίος έβαζε τα πράγματα στη θέση τους:

"Ο κ. Α. Ζυγαλάκης ενόμισεν ότι εύρε την λύσιν του προβλήματος. Κατλήγει εις την σχέσιν Ε = α² · 3.20, όπου Ε είναι το εμβαδόν του κύκλου ίσον προς το εμβαδόν το τετραγώνου, α δε ευθύγραμμον τμήμα ληφθέν εν τω τετραγ. τούτω. Ενόμισε λοιπόν ο κ. Α. Ζυγαλάκης ότι το α είνε η ακτίς του κύκλου εσφαλμένως διά τον εξής λόγον: Εάν λάβωμεν κύκλον έχοντα εμβαδόν Ε, ήτοι το εμβαδόν του τετραγώνου, και ονομάσωμεν ρ την ακτίνα του, θα έχωμεν: Ε = ρ² · 3.14159... Συνδυάζομεν την ισότητα ταύτην προς την ως άνω Ε = α² · 3,20 και ποριζόμεθα την ισότητα α² · 3,20 = ρ² · 3,14159...  Επειδή δε ο πολλαπλασιαστής του α² είνε μεγαλύτερος παρά ο πολ/στής του ρ², έπεται ότι το α είνε μικρότερο του ρ, ήτοι το α δεν είνε ακτίς του κύκλου. Άλλο ήθελε να αποδείξη ο κ. Α. Ζυγαλάκης κα ακουσίως απέδειξεν άλλο. Ο τετραγωνισμός του κύκλου άπαξ διά παντός είνε πρόβλημα άλυτον, διότι δεν είνε δυνατόν να κατασκευασθή το ανάπτυγμα της περιφερείας κύκλου".

H εφημερίδα συνέχισε να δημοσιεύει επιστολές σχετικές με τον τετραγωνισμό του κύκλου και την "απόδειξη" του καθηγητή Ζυγαλάκη, όμως αυτός δεν επανήλθε στο θέμα, παρά την υπόσχεσή του για δεύτερο θεώρημα, ενώ το ζήτημα θεωρήθηκε λήξαν. Τελικά, ο τετραγωνισμός του κύκλου δεν επιτεύχθηκε, ούτε και πρόκειται να επιτευχθεί.