28 Φεβρουαρίου 2012

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕ ΤΗΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΤΟΥ ΠΑΣΧΑ ΜΕ ΠΟΛΥ ΑΠΛΕΣ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ


Η ημερομηνία και ο τρόπος εορτασμού του Πάσχα αποτελούσε λόγος αντιπαραθέσεων κατά τα πρωτοχριστιανικά χρόνια, κυρίως για το κατά πόσο θα πρέπει ο εορτασμός του Πάσχα να συνδέεται με το αντίστοιχο εβραϊκό. Το θέμα διευθετήθηκε με απόφαση της Α' Οικουμενικής Συνόδου στη Νίκαια της Βιθυνίας το 325 μ.Χ.: "Το Πάσχα θα πρέπει να εορτάζεται την πρώτη Κυριακή της εαρινής ισημερίας και αν η Πανσέληνος συμβεί Κυριακή, τότε να εορτάζεται την επόμενη".
Σκοπός ήταν να μη συμπίπτουν το χριστιανικό και το εβραϊκό Πάσχα. Εν τω μεταξύ, μπορεί ημερολογιακά η εαρινή ισημερία να παρέμεινε στις 21 Μαρτίου, όμως το Ιουλιανό ημερολόγιο που ίσχυε το 325, αντικαταστάθηκε από το Γρηγοριανό. Ακόμα και μετά την υιοθέτηση του Γρηγοριανού ημερολογίου από το ελληνικό κράτος και παρά τον συγχρωτισμό της εκκλησίας με το νέο ημερολόγιο για τον προσδιορισμό των περισσότερων εορτών (όπως π.χ. των Χριστουγέννων), η ελληνική εκκλησία διατήρησε τον τρόπο υπολογισμού του Πάσχα σύμφωνα με το παλαιό ημερολόγιο, προκειμένου να συμπίπτει ο εορτασμός την ίδια ημερομηνία με τις υπόλοιπες Ορθόδοξες εκκλησίες.
Πώς όμως μπορούμε να υπολογίζουμε από το σπίτι μας την ημερομηνία του εορτασμού του Πάσχα μιας οποιαδήποτε χρονιάς (φέτος, σε ένα χρόνο, σε δέκα χρόνια κ.ο.κ.), εφόσον δε γνωρίζουμε πότε πέφτει κάθε χρόνο η πρώτη πανσέληνος μετά την εαρινή ισημερία; Το μόνο που χρειάζεται είναι λίγες, απλές - απλούστατες - μαθηματικές πράξεις: πέντε διαιρέσεις και μία πρόσθεση.
Έστω ότι ονομάζουμε "Ε" το έτος, για το οποίο θέλουμε να υπολογίσουμε την ημερομηνία του Πάσχα. Κάνουμε κατ' αρχήν τρεις απλές διαιρέσεις και κρατάμε τα υπόλοιπα από αυτές (τα οποία ονομάζουμε Υ1, Υ2 και Υ3, για να τα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια): 
Ε : 4
Ε : 7
Ε : 19
Δηλαδή για το έτος 2012 υπολογίζουμε:
2012 : 4 = 503 και 0 υπόλοιπο (διότι το 2012 διαιρείται ακριβώς από το 4). Επομένως κρατάμε: Υ1=0
2012 : 7 = 287 το πηλίκο και 3 υπόλοιπο. Επομένως κρατάμε: Υ2=3
2012 : 19 = 105 το πηλίκο και 17 υπόλοιπο. Επομένως κρατάμε: Υ3=17

Υπολογίζουμε τα υπόλοιπα σε δύο ακόμα διαιρέσεις (τα Υ4 και Υ5)
(19xΥ3 + 16) : 30
και
(2xY1 + 4xΥ2 + 6xΥ4) : 7
Δηλαδή για το έτος 2012 υπολογίζουμε:
(19x17 +16) : 30 = (323 + 16) : 30 = 339 : 30 = 11 και 9 το υπόλοιπο. Επομένως, έχουμε Υ4=9
(2x0 + 4x3 + 6x9) : 7 = (0 + 12 + 54) : 7 = 66 : 7 = 9 και 3 το υπόλοιπο. Επομένως, έχουμε Υ5=3

Το μόνο που μένει  είναι να προσθέσουμε το Υ4 με το Υ5 και με τον αριθμό 3, και θα βρούμε την ημερομηνία του Πάσχα. Δηλαδή για το έτος 2012 υπολογίζουμε:
Υ4 + Υ5 + 3 = 9 + 3 + 3 = 15. Πράγματι, φέτος το Πάσχα πέφτει στις 15 Απριλίου.
 Αν το άθροισμα στην τελευταία πράξη βγαίνει μεγαλύτερο του 30 (δηλαδή από 31 και πάνω), αυτό σημαίνει ότι η γιορτή του Πάσχα για εκείνη τη χρονιά, θα πέφτει το μήνα Μάιο.


Ας υπολογίσουμε τώρα ποια ημερομηνία θα γιορτάσουμε το Πάσχα του χρόνου, το έτος 2013:
2013 : 4 = 503 και 1 υπόλοιπο. Επομένως κρατάμε: Υ1=1
2013 : 7 = 287 το πηλίκο και 4 υπόλοιπο. Επομένως κρατάμε: Υ2=4
2013 : 19 = 105 το πηλίκο και 18 υπόλοιπο. Επομένως κρατάμε: Υ3=18
Κάνουμε τις δύο επόμενες διαιρέσεις, (19xΥ3 + 16) : 30 και (2xY1 + 4xΥ2 + 6xΥ4) : 7. Επομένως:
(19x18 +16) : 30 = (342 + 16) : 30 = 358 : 30 = 11 και 28 το υπόλοιπο. Επομένως, έχουμε Υ4=28
(2x1 + 4x4 + 6x28) : 7 = (2 + 16 + 168) : 7 = 186 : 7 = 26 και 4 το υπόλοιπο. Επομένως, έχουμε Υ5=4
Προσθέτουμε: Υ4 + Υ5 + 3 = 28 + 4 + 3 = 35.
Επομένως, το 2013 το Πάσχα θα το γιορτάσουμε στις 5 Μαΐου.
Αν θέλετε, προσπαθήστε μόνοι σας και υπολογίστε την ημερομηνία του Πάσχα και για άλλες χρονιές, όπως π.χ. τη χρονιά που γεννηθήκατε ή για κάποια επόμενη χρονιά, π.χ. για το 2014, για το 2015 κλπ.

3 σχόλια:

  1. Αυτή η μέθοδος υπολογισμού έχει ημερομηνιία λήξης. Ανταποκρίνεται στα οριζόμενα μέχρι το έτος 2099. Από το 2100 μέχρι το 2199 θα πρέπει στην ημερομηνία που υπολογίζεις με αυτόν τον τρόπο να προσθέτεις 1. Από το 3100 μέχρι το 3199 πρέπει να προσθέτεις 9, και από το 9100 μέχρι το 9199 θα πρέπει να προσθέτεις 55 αν γιορτάζεται μέχρι τότε το Πάσχα και αν η ημερομηνία του υπολογίζεται με τον τρόπο που ορίζεται να υπολογίζεται και σήμερα. Βεβαίως αυτό είναι αδύνατο.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Η ημερομηνία του Πάσχα των δυτικών μπορεί να υπολογίζεται με βάση τα οριζόμενα και σήμερα, όσο θα εξακολουθεί να γιορτάζεται το Πάσχα. Η διαφορά μας με τους δυτικούς δεν οφείλεται μόνο στη μεταβολή του ημερολογίου. Οφείλεται και σε αυτό αλλά και στον τρόπο υπολογισμού της ημερομηνίας της πρώτης μετά την εαρινή ισημερία πανσελήνου. Εμείς υπολογίζουμε την ημερομηνία αυτήν με βάση τους κύκλους του Μέτωνος, γεγονός που σημαίνει για σήμερα ένα σφάλμα 3 ή 4 ημερών νομίζω.

    Ιωάννης Μερτάκου iannisnax@gmail.com (Έγραψα και το προηγούμενο σχόλιο)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Τα στοιχεία βασίστηκαν σ' ένα δημοσίευμα του μαθηματικού περιοδικού ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ της δεκαετίας του '90 (δε γνωρίζων την ακριβή ημ/νία έκδοσης), το οποίο υπέγραφε ο Κώστας Δρυλεράκης και το οποίο με τη σειρά του άντλησε τον τύπο από το βιβλίο "Πρακτική Αστρονομία" των Γρ. Αντωνακόπουλου και Π. Λασκαρίδη.
    Όπως διαβάζω στο ίδιο άρθρο, "ο κύκλος του Μέτωνα ορίζει κάθε 19 χρόνια τη στιγμή της Πανσελήνου 2 ώρες, 4 λεπτά και 24,8736 δευτερόλεπτα αργότερα από την πραγματική στιγμή.... με αποτέλεσμα το λάθος αυτό, συσσωρευμένο από το 325 μ.Χ. μέχρι σήμερα, δίνει ένα σφάλμα 5 περίπου ημερών", ενώ ο τρόπος υπολογισμού της Πανσελήνου από τη Δυτική Εκκλησία δίνει ένα μικρότερο σφάλμα, 1 ημέρας κάθε 20.000 χρόνια.
    Επίσης, στο ίδιο πολύ ενδιαφέρον δημοσίευμα δίνεται κι ένας αλγόριθμος υπολογισμού της ημερομηνίας του Πάσχα σε γλώσσα BASIC για Η/Υ, που όμως σήμερα είναι μάλλον ξεπερασμένος.

    ΑπάντησηΔιαγραφή